Ce cours introduit les bases mathématiques de la théorie des probabilités : la théorie de la mesure et celle de l’intégration au sens de Lebesgue.

THEORIE DE LA MESURE

1. Tribus et parties d'un ensemble - Définition. Tribu engendrée, tribu image réciproque, produit d’espaces mesurables.
2. Mesure, espace mesuré - Définitions, propriétés élémentaires, caractérisation d’une mesure finie. 
3. Prolongement d'une mesure et applications - Théorème de prolongement, mesure extérieure,  mesure de Borel, ensembles négligeables, tribu et mesure complétée, tribu et mesure de Lebesgue, produit fini d’une famille d’espaces mesurés.
4. Applications mesurables - Définition, fonctions boréliennes, exemples, propriétés, transport d’une mesure, mesure image, fonctions étagées sur un espace mesurable: définition et théorème d’approximation.
5. Théorie de la mesure et probabilités

INTEGRATION

1. Intégration des fonctions mesurables positives - Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, propriétés, théorème de la convergence monotone (Beppo-Lévi), lemme de Fatou, mesures à densité, théorème de changement de variable, théorème de Fubini-Tonelli. 
2. Intégration des fonctions quelconques - Intégrale d’une fonction quelconque, espaces $L^p$, propriétés, théorème de la convergence dominée, applications( continuité et dérivation sous le signe somme), théorème de Fubini, convolution
3. Espérance et moments en probabilités

COMPLEMENTS

1. Espaces $L^p$ - Définitions, propriétés,  inégalités de Holder et Minkowski, dualité.
2. Transformée de Fourier

Modalités d'évaluation : écrit+CC

Dernière mise à jour : mercredi 29 juillet 2009