Ce cours met en place les concepts fondamentaux du calcul des probabilités. Il montre comment les outils de la théorie de la mesure, introduits dans le cours « Fondements mathématiques des probabilités», s’adaptent au modèle probabiliste. De nombreux cas concrets illustrent le problème de la modélisation probabiliste. Ensuite, les techniques usuelles sont exposées ; en particulier les notions de lois conditionnelles et de convergence sont étudiées en détail. Les théorèmes limites fondamentaux sont démontrés.

1.  Rappels de théorie de la mesure et de l’intégration - Modèle de l’espace probabilisé ; applications mesurables; Mesure-image et théorème de transfert;  Mesure admettant une densité par rapport à une autre.
2.  Variables aléatoires : caractérisations, moments et changements de variables -Introduction : notion de variable aléatoire; Détermination et caractérisation des lois des variables aléatoires; Etude des moments d’une variable aléatoire; Le problème du changement de variables; Applications diverses.
3. Etude des lois normales - Lois normales sur $mathbb{R}$; Lois normales sur $mathbb{R}^n$; Lois usuelles dérivées des lois normales; Propriétés algébriques et géométriques des lois normales.
4. Fonctions caractéristiques -Définition et premières propriétés des fonctions caractéristiques de variables aléatoires réelles; Propriétés analytiques des fonctions caractéristiques; Théorèmes d’inversion et d’injectivité des fonctions caractéristiques et formules de réciprocité; Fonctions caractéristiques de variables aléatoires à valeurs dans $mathbb{R}$.
5. Convergences ponctuelles et fonctionnelle - Convergence presque sûre; Convergence uniforme presque sûre (ou dans $L_infty$); Convergence en probabilité (ou stochastique); Convergence dans les espaces $L^p$ .
6. Convergence en loi - Définition de la convergence en loi; Critères usuels de convergence en loi; Théorème de Paul LEVY; Propriétés de la convergence en loi ; utilisation de développements limités.
7. Théorie asymptotique -Lois des grands nombres; Déviations par rapport à la loi des grands nombres; Théorème central limite : version usuelle et extensions diverses.
8. Conditionnement et espérance conditionnelle - Conditionnement par un événement dans le cas élémentaire; Théorie « géométrique » de l’espérance conditionnelle; Extension : théorie générale de l’espérance conditionnelle; Théorie générale des lois de probabilité conditionnelles; Réinterprétation de l’espérance conditionnelle à partir de la loi de probabilité conditionnelle.
    

Modalités d'évaluation : écrit+CC+tut.

Dernière mise à jour : mercredi 29 juillet 2009