L'analyse des équations aux dérivées partielles a connu ces trente dernières années un essor considérable liée à l'apport de multiples domaines des mathématiques : la théorie des systèmes dynamiques, l'analyse harmonique, l'analyse fonctionnelle ou les méthodes variationnelles par exemple. La puissance de ces nouveaux outils permet de considérer des systèmes d'équations (souvent issus de la modélisation physique) de plus en plus complexes, et d'en décrire les solutions de plus en plus précisément.

Ce cours est dédié à un objet central dans l'étude des ondes non linéaires, pertinent dans de nombreuses situations physiques allant de la dynamique des fluides à l'astrophysique en passant par la physique des plasmas ou la physique des particules : le soliton ou onde solitaire. Cet objet exceptionnel découvert au début du vingtième siècle en mécanique des fluides est une onde qui se propage sans déformation ni atténuation dans un milieu non linéaire.

Le but du cours est de démontrer de manière auto-contenue le résultat de stabilité orbitale de l'onde solitaire obtenu par T. Cazenave et P.-L. Lions en 1983 pour l'équation de Schrödinger cubique en dimension deux. La démonstration de ce résultat nécessitera la mise en oeuvre de nombreux outils importants pour l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires, au coeur des techniques de l'analyse moderne.

Voici un plan indicatif du cours :

Cours 1. Analyse fonctionnelle: espaces Lp, espaces de Hilbert, convergence faible.
Cours 2. Espaces de Sobolev sur RN: définition, premières propriétés.
Cours 3. Inclusions de Sobolev, compacité, inégalités de Hardy et de Hardy-Littlewood-Sobolev.
Cours 4. Equation d'ondes linéaires sur RN: le phénomène de dispersion.
Cours 5. Estimations de Strichartz pour l'équation de Schrödinger linéaire.
Cours 6. Existence locale/globlale pour le problème non linéaire : notion d'espace critique.
Cours 7. Ondes solitaires: existence par la méthode variationnelle.
Cours 8. Le lemme de concentration compacité.
Cours 9. Stabilité orbitale du soliton.

References
[1] G. Allaire et P.-L. Lions : Analyse numéerique et optimisation, cours de l'Ecole Polytechnique.
[2] F. Bethuel : Méthodes géometriques et topologiques en EDP, Ecole Polytechnique.
[3] H. Brezis : Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson.
[4] T. Cazenave : Semilinear Schrodinger equations, Courant Lecture notes, NYU.
[5] R. Danchin : Notes de cours d'analyse fonctionnelle, http ://persomath.univmlv.fr/users/danchin.raphael/.
[6] R. Danchin : Cours d'analyse non lin eaire MAT 554 (ancienne version), persomath.univ-mlv.fr
[7] F. Golse : Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours de l'Ecole Polytechnique, MAT431.
[8] P. Raphael : Stability and blow up for the nonlinear Schrodinger equation, www.math.univ-toulouse.fr raphael
[9] Y. Martel et P. Raphael : Sur la dynamique des solitons: stabilite, collision et explosion.

Les techniques introduites dans ce cours sont centrales dans l'étude d'une large classe de problemes au coeur d'un domaine de recherche très actif. Voici quelques exemples d'EA :

* Concentration et explosion pour l'equation de Schrödinger.
* Transport non linéaire et minimiseurs de l'énergie: sur la stabilité des galaxies.
* Existence globale pour des équations non linéaires critiques.
* Existence et stabilité des multi-solitons pour l'équation des vagues dans un canal.
* Etude des poches de tourbillon pour les fluides parfaits incompressibles.
* Etude des solitons pour l'équation de Camassa-Holm.
* L'equation d'Euler incompressible.

Niveau requis : MAT431 : Le contenu de la partie "Distributions et Analyse de Fourier" du cours long de MAT431 "Distributions, Analyse de Fourier et Systèmes Dynamiques" est nécessaire pour suivre ce module.

Dernière mise à jour : vendredi 23 septembre 2011