Les mathématiques appliquées ont une triple vocation de modélisation des problèmes scientifiques ou industriels, d'analyse mathématique, et de résolution numérique de ces problèmes. L'objectif de cet enseignement est de présenter les outils nécessaires d'analyse numérique et d'optimisation pour atteindre ce triple but. L'enseignement combinera des concepts mathématiques théoriques et une mise en oeuvre pratique (à l'aide des logiciels Scilab et FreeFem ++) sur des exemples d'applications concrètes.
La note de module prendra en compte un mini-projet de simulation numérique et un devoir "à la maison" en plus des habituels contrôles écrits.
Ce cours est particulièrement recommandé aux élèves qui comptent s'intéresser aux aspects de simulation numérique dans les sciences de l'ingénieur.

1) Modélisation simple de phénomènes stationnaires et instationnaires issus de la physique, mécanique, chimie, finance, etc. Simulation numérique par différences finies. Stabilité, consistance, et convergence des schémas numériques.

2) Analyse mathématique des équations aux dérivées partielles issues de la modélisation. Formulations variationnelles, lemme de Lax-Milgram, espaces d'énergie (espaces de Sobolev), solutions faibles. Propriétés qualitatives des solutions : principe du maximum, régularité, etc. Fonctions propres et valeurs propres, résolution des problèmes instationnaires (paraboliques ou hyperboliques).

3) Résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Méthode des éléments finis. Schémas explicite ou implicite en temps. Résolution de systèmes linéaires, calcul de valeurs propres. Mise en oeuvre pratique sur ordinateur.

4) Optimisation en dimension finie ou infinie. Minimisation sous contraintes. Conditions d'optimalité, multiplicateurs de Lagrange. Convexité, dualité. Algorithmes de type gradient.

5) Programmation linéaire. Algorithme du simplexe, polyèdres entiers.



Référence bibliographique :

Analyse Numérique et Optimisation par Grégoire Allaire (2005)

• Fiche détaillée Ouvrage disponible auprès des Editions de l'Ecole Polytechnique.
  
  Niveau requis : Pour les élèves ayant effectué leurs études en France : aucun autre prérequis que le niveau de connaissances acquis en classes préparatoires ou en premier cycle universitaire. Pour les autres élèves : algèbre linéaire, calcul différentiel, équations différentielles ordinaires.
  
  Modalités d'évaluation : Un contrôle hors classement de 2 heures à mi-parcours. Un devoir "maison". Un mini-projet de simulation numérique. Un contrôle classant de 4 heures en fin de cycle. Une évaluation de la présence et du travail fourni en Petite Classe.
  
  Dernière mise à jour : mardi 13 mars 2012